若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（　　） A.A与B相似 B.A≠B，但|A-B|=0 C.A=B D.A与B不一定相似，但|A|=|B|

题目

若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（　　）
A. A与B相似
B. A≠B，但|A-B|=0
C. A=B
D. A与B不一定相似，但|A|=|B|

答案

n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，
设其特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则A，B均可对角化，
即存在可逆矩阵P，Q，使得PAP−1＝diag(λ1，λ2，…，λn)＝QBQ−1，
因此A，B都相似于同一个对角矩阵diag（λ₁，λ₂，…，λ_n），
所以，A与B相似．
故选：A．

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