若向量a与b不共线,a*b不等于0.且c=a-[(a*a)/(a*b)]b,a与c夹角为?

题目

若向量a与b不共线,a*b不等于0.且c=a-[(a*a)/(a*b)]b,a与c夹角为?
向量,*为点乘

答案

设a,b夹角为θ,向量a与b不共线,a≠0,b≠0,
c=a-[(a*a)/(a*b)]b=a-[|a|^2/(|a||b|cosθ)]b ,①
若c=0
a|b|cosθ=|a|b
两边取模
cosθ=±1
a,b平行,不合题意.c≠0
ac=|a|^2-[|a|^2/(|a|*|b|cosθ)]a·b
=|a|^2-[|a|^2/(|a|*|b|cosθ)]|b|*|a|cosθ
=0
ac=|c||a|cosβ,β为c与a的夹角.a≠0,c≠0.
cosβ=0
夹角为90°.