∫(√sinx)cos∧5(x)dx

题目

∫(√sinx)cos∧5(x)dx

答案

原式＝∫［（sinx）^（1/2）］［（cosx）^4］d（sinx）
　　＝（2/3）∫［（cosx）^4］d［（sinx）^（3/2）］
令（sinx）^（3/2）＝u,则：sinx＝u^（2/3）,　∴（sinx）^2＝u^（4/3）,
∴（cosx）^4＝［1－（sinx）^2］^2＝［1－u^（4/3）］^2＝1－2u^（4/3）＋u^（8/3）.
∴原式＝（2/3）∫［1－2u^（4/3）＋u^（8/3）］du
　　　＝（2/3）∫du－（4/3）∫u^（4/3）du＋（2/3）∫u^（8/3）du
　　　＝（2/3）u－（4/3）×（3/7）u^（7/3）＋（2/3）×（3/11）u^（11/3）＋C
　　　＝（2/3）（sinx）^（3/2）－（4/7）［（sinx）^（3/2）］^（7/3）
　　　　＋（2/11）［（sinx）^（3/2）］^（11/3）＋C
　　　＝（2/3）sinx√sinx－（4/7）（sinx）^（7/2）＋（2/11）（sinx）^（11/2）＋C
　　　＝（2/3）sinx√sinx－（4/7）（sinx）^3√sinx＋（2/11）（sinx）^5√sinx＋C.