等边△OAB在平面直角坐标系中,已知点A（2,0）,将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）

题目

等边△OAB在平面直角坐标系中,已知点A（2,0）,将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）
当a=30时,求△OAB与△OA1B1重合部分（图2中的阴影部分）的面积；
当A1,B1的纵坐标相同时,求a的值；
当60＜a＜180时,设直线A1B1与BA相交于点P,PA、PB1的长是方程x2-mx+m=0的两个实数根,求此时点P的坐标．

答案

（1） B（1,√3）
（2）因为∠BOB1=30°
所以OB1⊥AB,AM=2-√3
则QM=√3×AM=2√3-3
则重叠部分的面积为S△AON-S△AMQ=6-3√3
（3）因为A1和B1的纵坐标相同
所以A1B1∥x轴
若A1B1在x轴下方,a=120°
若A1B1在x轴上方,a=300°
（4）作OR⊥A1B1于R,作OT⊥AB于T
由△ORP≌△OTP（HL）可得∠OPA1=∠OPA
又∠OA1P=∠OAP=120°,OA=OA1
则△OA1P≌△OAP（AAS）
所以PA=PA1
PB1=PA1+A1B1=PA+2
在方程x2-mx+m=0中,两根满足x1+x2=m x1×x2=m
则x1+x2=x1×x2,故x2=x1/x1-1
设PA=x,则PB1=x+2
令x为x1,x+2为x2
则x+2=x/x-1 解得 x1=√2 x2= -√2(舍去）
所以PA=√2
则P（4+√2/2,-√6/2）