一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）

题目

一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）
求证：MN平行CDEF.求多面体A-CDEF的体积

答案

由三视图可知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,
且AB=BC=BF=2,DE=CF=2√ 2,∴∠CBF= π/2．
（1）证明：取BF的中点G,连接MG、NG,
由M,N分别为AF,BC的中点可得,NG∥CF,MG∥EF,
∴平面MNG∥平面CDEF,又MN⊂平面MNG,
∴MN∥平面CDEF．
（2）取DE的中点H．
∵AD=AE,∴AH⊥DE,
在直三棱柱ADE-BCF中,
平面ADE⊥平面CDEF,
平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．
∴多面体A-CDEF是以AH为高,以矩形CDEF为底面的棱锥,在△ADE中,AH=√ 2．
S矩形CDEF=DE•EF=4√ 2,
∴棱锥A-CDEF的体积为
V= 1/3•S矩形CDEF•AH= 1/3×4√ 2×√ 2= 8/3．