如图,在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点B顺时针旋转α度,得到△A1BC1,A,B交AC于点E,A1,C1分别交AC,BC于点D,F,下列结论:①∠CDF=α,②A1E=CF,③DF=FC,④A
题目
如图,在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点B顺时针旋转α度,得到△A
1BC
1,A,B交AC于点E,A
1,C
1分别交AC,BC于点D,F,下列结论:①∠CDF=α,②A
1E=CF,③DF=FC,④AD=CE,其中正确的是______(写出正确结论的序号)
答案
∵BA=BC,
∴∠A=∠C,
∵△ABC绕点B顺时针旋转α度,得到△A
1BC
1,
∴BA=BA
1,BC=BC
1,∠ABA
1=∠CBC
1=α,∠A=∠A
1=∠C=∠C
1,
∵∠BFC
1=∠DFC,
∴∠CDF=∠FBC
1=α,所以①正确;
∴BA=BA
1=BC=BC
1,
在△BAE和△BC
1F中
,
∴△BAE≌△BC
1F(ASA),
∴BE=BF,
而BA
1=BC,
∴A
1E=CF,所以②正确;
∵∠CDF=α,
∴当旋转角等于∠C时,DF=FC,所以③错误;
连接BD,如图,
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC,∠CBE=∠ABC-∠ABE=α,
而∠DBC不能确定为α,
∴不能判断△ABD与△CBE全等,
∴不能得到AD=CE,所以④错误.
故答案为①②.
根据等腰三角形的性质由BA=BC得∠A=∠C,再根据旋转的性质得BA=BA1=BC=BC1,∠ABA1=∠CBC1=α,∠A=∠A1=∠C=∠C1,而根据对顶角相等得∠BFC1=∠DFC,于是可根据三角形内角和定理得到∠CDF=∠FBC1=α;利用“ASA”证明△BAE≌△BC1F,则BE=BF,所以A1E=CF;由于∠CDF=α,则只有当旋转角等于∠C时才有DF=FC;连接BD,如图,由于∠ABD=∠ABC-∠DBC,∠CBE=∠ABC-∠ABE=α,而∠DBC不能确定为α,则不能判断△ABD与△CBE全等,所以不能得到AD=CE.
旋转的性质.
本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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