一道微分中值定理题目

题目

一道微分中值定理题目
若函数f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导内有二阶导数,f(0)=0,F(x)=(1-x)^2f(x),证明：在(0,1)内至少有一点ξ,使得F''(ξ)=0.
这个题目很明显F(1)=F(0)=0,由罗尔中值定理很容易得到,存在ξ,使得F'(ξ)=0,但要证F''(ξ)=0,还应该有一点的一阶导数也等于0呀.怎么个证法?

答案

看F(x)在x=1处的右导数,
F‘(1)=lim (x-1)²f(x) /(x-1)
=lim (x-1)f(x)
=lim (x-1) lim f(x)
=0·f(1)
=0
这就是第二个你要找的导数为0的点