三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A-C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=3，求△ABC的面积．

题目

三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A-C）=2sin2C．
（1）求内角B的余弦值；
（2）若b=

3

，求△ABC的面积．

答案

（Ⅰ） 三角形ABC中，
∵sinB+sin（A-C）=2sin2C，
∴sin（A+C）+sin（A-C）=4sinCcosC，sinA=2sinC，
∴a=2c．
又因为b²=ac=2c²，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

4

．
（Ⅱ）∵b=

3

，b²=ac=2c²，
∴c=

3

2

，∴a=

6

．
又∵sinB=

1-cos2B

=

7

4

 
∴△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB=

3 7

8

．

（Ⅰ） 三角形ABC中，由条件化简可得sinA=2sinC，故有a=2c．再由b²=ac=2c²，求得cosB=

a2+c2−b2

2ac

的值．
（Ⅱ）根据b=

3

，b²=ac=2c²，求得c和a的值，求得sinB=

1−cos2B

的值，再根据△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB，计算求得结果．

本题考点：正弦定理；余弦定理．

考点点评：本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．