A为n×n矩阵,r(A)=r.证明：存在可逆矩阵P,Q使得PAQ的后n-r行全为零,且PQ=E.

题目

A为n×n矩阵,r(A)=r.证明：存在可逆矩阵P,Q使得PAQ的后n-r行全为零,且PQ=E.

答案

说一下思路：设R是n维线性空间.b 是R上线性变换.A是b在某基下的矩阵.因为r(A)=r,Ker（b)是R的n-r维子空间.选取Ker（b)的一个基ar+1,...,an扩充成R的基a1,a2,...,ar,ar+1,...,an.取Q=由原来的基到基a1,a2,...,ar,ar+1...