函数f(x)的定义域为D,若满足: ①f(x)在D内是单调函数; ②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[-b,-a],那么y=f(x)叫做对称函数. 现有f(x)=2−x-k是对称函
题目
函数f(x)的定义域为D,若满足:
①f(x)在D内是单调函数;
②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[-b,-a],那么y=f(x)叫做对称函数.
现有f(x)=
-k是对称函数,那么k的取值范围是( )
A. [2,
)
B. (-∞,
)
C. (2,
)
D.
(−∞,](-∞,
]
答案
由于f(x)=
在(-∞,2]上是减函数,故满足①,
又f(x)在[a,b]上的值域为[-b,-a],
∴
∴a和 b 是关于x的方程
在(-∞,2]上有两个不同实根.
令t=
在,则x=2-t
2,t≥0,
∴k=-t
2+t+2=-(t-
)
2+
,
∴k的取值范围是[2,
),
故选:A.
f(x)=
在在定义域(-∞,2]上是减函数,由②可得 f(a)=-a,f(b)=-b,由此推出 a和 b 是方程
在(-∞,2]上的两个根.利用换元法,转化为∴k=-t
2+t+2=-(t-
)
2+
,在[0,+∞)有两个不同实根,解此不等式求得 k 的范围即为所求.
函数的图象.
本题考查函数的单调性的应用,求函数的值域,体现了转化的数学思想,得到a和 b 是方程在(-∞,2]上的两个根,是解题的难点,属中档题
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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