已知函数f(x)=x2+aln x. (I)当a=-2时,求函数f(x)的极值; (II)若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调增函数,求实数a的取值范围.
题目
已知函数f(x)=x
2+aln x.
(I)当a=-2时,求函数f(x)的极值;
(II)若g(x)=f(x)+
答案
(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞)
当a=-2时,
f′(x)=2x−=当x变化时,f′(x),f(x)的值变化情况如下表
由上表可知,函数f(x)单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞)
极小值是f(1)=1,没有极大值
(2)
由g(x)=x2+alnx+得g′(x)=2x+−因为g(x)在[1,+∞)上是单调增函数
所以g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立
即不等式
2x+−≥0在[1,+∞)上恒成立即
a≥ −2x2在[1,+∞)上恒成立
令
∅(x)=−2x2则
∅′(x)=−−4x当x∈[1,+∞)时,
∅′(x)=−−4x<0∴
∅(x)=−2x2在[1,+∞)上为减函数
∅(x)的最大值为∅(1)=0
∴a≥0
故a的取值范围为[0,+∞)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点