当x属于R时函数y=f(x)满足f(2002+x)+f(2004+x)=f(2003+x),且f(1)=2,f(2)=5,则f(2007)=?
题目
当x属于R时函数y=f(x)满足f(2002+x)+f(2004+x)=f(2003+x),且f(1)=2,f(2)=5,则f(2007)=?
答案
当x属于R时函数y=f(x)满足f(2002+x)+f(2004+x)=f(2003+x),且f(1)=2,f(2)=5,则f(2007)=?
解析:∵f(2002+x)+f(2004+x)=f(2003+x)
令x=x+1代入上式得f(2003+x)+f(2005+x)=f(2004+x)==> f(2003+x)=f(2004+x)-f(2005+x)
∴f(2004+x)-f(2005+x)= f(2002+x)+f(2004+x)∴f(2002+x)=-f(2005+x)
令x=x+2002代入上式得,f(x)=-f(x+3)
令x=x+3代入上式得f(x+3)=-f(x+6)
∴f(x)=f(x+6),f(x)是以6为最小正周期的周期函数
令x=-2001代入f(2002+x)+f(2004+x)=f(2003+x) 得f(1)+f(3)=f(2)
∴f(2007)=f(3+6*336)=f(3)=f(2)-f(1)
∵.f(1)=2,f(2)=5
∴f(2007)=f(2)-f(1)=3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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