根号负一等于多少

题目

根号负一等于多少
好像是虚数,但我是初中的,

答案

国内的教科书直接定义 i 等于 -1 的平方根
这个只能是让人更加迷茫.
复数是定义在实数的基础上的:
复数就是有序的实数对 (a, b),然后在上面定义加法和乘法,使其组成域
复数的加法: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
复数的乘法: (a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
定义 i = (0, 1)
i * i = -1 其实就是
(0, 1) * (0, 1) = (0*0 - 1*1, 0*1 + 1*0) = (-1, 0)
定义复数域的一个子集 X = { (x, 0) | x为所有实数 }
X也是一个域
在X和R之间建立一个一一映射 令复数(x, 0) 对应实数 x, 则X和R同构
因此实数域R与复数域的一个子域X同构,也就是说R和X是一个东西(从代数的角度来看)
所以 i * i = (-1, 0) 对应R的 -1
也就是 i * i = -1