在三角形ABC中,已知A=π/4,bsin（π/4+C）-csin（π/4+B）=a.（1）求证

题目

在三角形ABC中,已知A=π/4,bsin（π/4+C）-csin（π/4+B）=a.（1）求证
在三角形ABC中,已知A=π/4,bsin（π/4+C）-csin（π/4+B）=a.
（1）求证：B-C=π/2
（2）若a=√2,求三角形ABC的面积

答案

1）证明：由bsin（π 4 +C）-csin（π 4 +B）=a,由正弦定理可得sinBsin（π 4 +C）-sinCsin（π 4 +B）=sinA．
sinB（ 2 2 sinC+ 2 2 cosC）-sinC（ 2 2 sinB+ 2 2 cosB）= 2 2 ．
整理得sinBcosC-cosBsinC=1,
即sin（B-C）=1,
由于0＜B,C＜3π 4 ,从而B-C=π 2 ．
B+C=π-A=3π /4 ,因此B=5π /8 ,C=π /8 ,
由a= 2 ,A=π /4 ,得b=asinB sinA =2sin5π /8 ,c=asinC sinA =2sinπ/ 8 ,
所以三角形的面积S=1 /2 bcsinA= 2 sin5π/ 8 sinπ /8 = 2 cosπ /8 sinπ 8 =1 2