求证：1/n+1+1/n+2+…+1/3n＞5/6（n≥2，n∈N*）．

题目

求证：

1

n+1

答案

证明：（1）当n=2时，左边=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

＝

57

60

＞

50

60

＝

5

6

，不等式成立；
（2）假设n=k（k≥2，k∈N^*）时命题成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

＞

5

6

成立．
则当n=k+1时，左边=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3k

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3(k+1)

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

+(

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

−

1

k+1

)
＞

5

6

+(3×

1

3k+3

−

1

k+1

)=

5

6

．
所以当n=k+1时不等式也成立．
综上由（1）（2）可知：原不等式对任意n≥2（n∈N^*）都成立．