已知函数f(x)=lg[(m2-3m+2)x2+2(m-1)x+5], (1)若函数f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围; (2)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围.
题目
已知函数f(x)=lg[(m2-3m+2)x2+2(m-1)x+5],
(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围.
答案
函数f(x)=lg[(m
2-3m+2)x
2+2(m-1)x+5],
(1)∵f(x)的定义域为R,
∴g(x)=(m
2-3m+2)x
2+2(m-1)x+5的图象恒在x轴上方,
(m
2-3m+2)x
2+2(m-1)x+5>0恒成立,
当m=1时,5>0恒成立,
当m=2时2x+5>0不恒成立,
当
时,不等式恒成立.
即m
>或m<1,
所以实数m的取值范围为:m
>或m≤1,
(2)∵f(x)的值域为R,
∴g(x)=(m
2-3m+2)x
2+2(m-1)x+5图象不能在x轴上方,
当m=2时g(x)=2x+5,符合题意,
当
时,即2<m
≤实数m的取值范围:2≤m
≤(1)(m2-3m+2)x2+2(m-1)x+5>0恒成立,运用二次函数求解.
(2)g(x)=(m2-3m+2)x2+2(m-1)x+5图象不能在x轴上方.
对数函数的值域与最值.
本题考察了对数函数的图象和性质,借助二次函数性质求解.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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