已知函数f(x)=lnx+a−xx,其中a为常数,且a>0. (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=1/2x+1垂直,求a的值; (2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值
题目
已知函数f(x)=lnx+
,其中a为常数,且a>0.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=
x+1垂直,求a的值;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为
,求a的值.
答案
f′(x)=1x+−x−(a−x)x2=1x-ax2=x−ax2(x>0)(4分)(1)因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=12x+1垂直,所以f'(1)=-2,即1-a=-2,解得a=3.(6分)(2)当0<a≤1时,f'(x)>0在(1,2)...
(1)先由所给函数的表达式,求导数fˊ(x),再根据导数的几何意义求出切线的斜率,最后由垂直直线的斜率关系列方程求a的值即可;
(2)对参数a进行分类,先研究f(x)在[1,2]上的单调性,利用导数求解f(x)在[1,2]上的最小值问题即可,故只要先求出函数的极值,比较极值和端点处的函数值的大小,最后确定出最小值即得a的值.
利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.
本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讲座思想、化归与转化思想.属于基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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