求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.（注:要画图,还要写已知求证）

题目

求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.（注:要画图,还要写已知求证）

答案

已知,平行四边形ABCD.求证：AC²+BD²=AB²+CD²+AD²+BC²

证明：如图,做AE⊥BC,DF⊥BC.

∵ABCD是平行四边形（已知）

∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD（平行四边形对边平行且相等）

∵AE⊥BC,DF⊥BC（所做）

∴AE∥DF（垂直于一条直线的两条直线平行）

∴AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

∴AE=DF（平行四边形对边相等）

∴BE=CF（等量减等量,差相等）

∴AC²+BD²（勾股定理）

=[AE²+(BC-BE)²]+[DF²+(BC+CF)²]

=(AE²+BC²-2BC·BE+BE²+BE)²+(DF²+BC²+2BC·CF+CF²)

=AE²+BE²+BC²+DF²+CF²+BC²

=AB²+BC²+CD²+AD