求证 平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和

题目

求证 平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和

答案

已知;：平行四边形ABCD.
求证：AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA²
证明：作高AE、DF.
在平行四边形中,AB=DC,AD=BC,AB∥DC
∴∠ABE=∠DCF
∵∠AEB=∠DFC=90°
∴△ABE≌△DCF
∴AE=DF BE=CF
∵AC²=AE²+EC²=AE²+(BC-BE)²=AE²+BC²-2BC×BE+BE²
BD²=DF²+BF²=AE²+(BC+CF)²=AE²+BC²+2BC×BE+BE²
∴AC²+BD²=2(AE²+BE²)+2BC²=2AB²+2BC²=AB²+BC²+CD²+DA²