一道证明四点共圆的题目

题目

一道证明四点共圆的题目
在等边三角形ABC外取一点P 若PA=PB+PC 求证 A B P C四点共圆

答案

如题,以C为中心旋转△BPC,使得B点和A点重合,此时P的位置记为Q

1) 因为△AQC≌△BPC,所以AQ=BP,CQ=CP,∠ACQ=∠BCP

2) 因为CQ=CP,∠QCP=∠QCB+∠BCP=∠QCB+∠ACQ=∠ACB=60°,所以△CPQ是等边三角形,于是PQ=CP

3) AP=BP+CP=AQ+PQ,根据三角形两边之和大于第三边可知Q在线段AP上,于是∠APC=∠QPC=60°=∠ABC,即A、B、P、C四点共

证毕

如果你知道托勒密定理（参考：http://baike.baidu.com/view/148250.htm）,就知道这其实是托勒密定理逆定理的一个应用