若ab不等于0.试证明a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0的充要条件是a+b=1

题目

若ab不等于0.试证明a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0的充要条件是a+b=1

答案

由于ab≠0,所以a^2-ab+b^2=[a-(b/2)]^2+3b^2/4>0.
因为
a^3+b^3+ab-a^2-b^2
=(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)
=(a+b-1)(a^2-ab+b^2)
所以a+b=1等价于a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0.