群和子群

题目

群和子群
有这个一个题,实在不懂,有哪位大虾帮帮忙证明,
设G是交换群,证明G中一切有限阶元素所成集合H是G的一个子群

答案

只需证明H满足群的三个定义：
1、单位元：G中的单位元1是有限阶元素,所以1属于H,满足单位元定义.
2、封闭性：设a、b是H中任意两个元素,且有a^m=b^n=1, n、m为正整数,则(ab)^(mn) = 1, (由交换性即可得).
3、逆元：设a为H中任一元素,且有a^m=1,则a的逆元为a^(m-1),又因为(a^(m-1))^m=1,所以a^(m-1)属于H,则a在H中存在逆元.