求三角形面积的最小值

题目

求三角形面积的最小值
一个90°角内部一点,到角的两边距离分别是3和5,过该点的直线和角的两边分别相交,两个交点和角的顶点组成三角形,求该三角形的面积的最小值.

答案

以角的顶点为原点O,角的两条边为坐标轴,建立直角坐标系.
则可设角内部的点的坐标为(5,3).
过该点的直线方程为：y-3 = k(x-5) （k为斜率）,
直线与x轴交点A的坐标为 (5-3/k,0),与y轴交点B的坐标为 (0,3-5k),
△OAB的面积为：S = (1/2)(5-3/k)(3-5k) ,
整理可得：25k²+2(S-15)k+9 = 0 ,
依题意,k有实数根,
则判别式 4(S-15)²-900 ≥ 0 ；
解得：S ≥ 30 （舍去 S ≤ 0 ）；
所以,三角形的面积的最小值为 30 .