已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,一条准线方程是X=1,倾斜角为兀／4的直线L交椭圆C于A,B两点,且AB中点的坐标为（-1/2,1/4）,求椭圆C的方程.

题目

已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,一条准线方程是X=1,倾斜角为兀／4的直线L交椭圆C于A,B两点,且AB中点的坐标为（-1/2,1/4）,求椭圆C的方程.

答案

用点差法,设A为(x1,y1),B为(x2,y2)设椭圆方程为x^2a^2+y^2^2=1
因为A,B都在椭圆上,故有x1^2a^2+y1^2^2=1 x2^2a^2+y2^2^2=1
两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)a^2+(y1-y2)(y1+y2)^2=0
又AB中点坐标为（-1/2,1/4）,所以x1+x2=-1 y1+y2=12
且由直线斜率为兀／4,知(y1-y2)/(x1-x2)=1,将这些条件代入上式有
a^2-2b^2=0 又由准线方程为a^2/c=1 且c^2+b^2=a^2 由这三式得出的
c=1/2 a^2=1/2 b^2=1/4 椭圆方程为2x^2+4y^2=1