如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长．

题目

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长．

答案

∵△ABC为直角三角形，∠C=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=

1

2

AC，
∵D为AC的中点，
∴BC=DC，
∴在△DEC≌△BAC中，

BC＝DC ∠C＝∠C ∠ABC＝∠EDC

，
∴△DEC≌△BAC，
即AB=DE，∠DEB=30°，
∴∠FED=60°，
∵EF=AB，∴EF=DE，
∴△DEF为等边三角形，
即DF=AB，
在直角三角形ABC中，BC=2，则AC=4
AB=

AC2−BC2

=2

3

．
答：DF的长为2

3

．

求证△DEC≌△BAC，得DE=AB，再求证DF=DE即可解此题．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了等腰三角形各边均相等，考查了矩形内角均为直角的性质，本题中求证△DEF是等边三角形是解题的关键．