用数学归纳法证明(1-x)(1+x+x^2+……+x^(n-1)）=1-x^n

题目

用数学归纳法证明(1-x)(1+x+x^2+……+x^(n-1)）=1-x^n

答案

n=1时, (1-x)(1+x)=1-x^2 命题成立.
设n=k时命题成立,
即有:(1-x)(1+x+x^2+……+x^(k-1)）=1-x^k,
则当n=k+1时,有:
(1-x)(1+x+x^2+……+x^(k-1)+x^k)=
=(1-x)(1+x+x^2+……+x^(k-1))+(1-x)*x^k
=1-x^k+(1-x)*x^k
=1-x^k+x^k-x^(k+1)
=1-x^(k+1),
知命题仍成立.
由数学归纳法知,此命题对任何正整数成立.