求证:N=5*(3^2n+1)*(2^n)+(3^n)*(6^n+2)能被17整除

题目

求证:N=5*(3^2n+1)*(2^n)+(3^n)*(6^n+2)能被17整除

答案

:N=5*3^(2n+1)*(2^n)+3^n*6^(n+2)能被17整除
证明：用数学归纳法
①n=1时,N=5×27×2+3×8×27=27×2×17
命题成立
②假设当n=k时,命题成立,
即 5*3^(2k+1)*(2^k)+3^k*6^(k+2)能被17整除
那么n=k+1时,
5*3^(2k+3)*2^(k+1)+3^(k+1)*6^(k+3)
=5×3²×3^(2k+1)×2×2^k+3×3^k×6×6^(k+2)
=18×5*3^(2k+1)*2^k+18*3^k*6^(k+2)
=18[5*3^(2k+1)*2^k+3^k*6^(k+2)]
∵5*3^(2k+1)*2^k+3^k*6^(k+2)能被17整除
∴18[5*3^(2k+1)*2^k+3^k*6^(k+2)]能被17整除
即当n=k+1时,
5*3^(2k+3)*2^(k+1)+3^(k+1)*6^(k+3)能被17整除
命题成立
由①②可得对任意的n∈N*,命题总成立

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