如图,在△ABC中,点D在AC上,DA=DB,∠C=∠DBC,以AB为直径的⊙O交AC于点E,F是⊙O上的点,且AF=BF. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)若sinC=3/5,AE=32,求s

如图,在△ABC中,点D在AC上,DA=DB,∠C=∠DBC,以AB为直径的⊙O交AC于点E,F是⊙O上的点,且AF=BF. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)若sinC=3/5,AE=32,求s

题目
如图,在△ABC中,点D在AC上,DA=DB,∠C=∠DBC,以AB为直径的⊙O交AC于点E,F是⊙O上的点,且AF=BF.

(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若sinC=
3
5
答案
(1)证明:∵DA=DB(已知),
∴∠DAB=∠DBA(等边对等角);
又∵∠C=∠DBC(已知),
∴∠DBA﹢∠DBC=
1
2
(∠DAB+∠DBA+∠C+∠DBC)=
1
2
×180°=90°(三角形内角和定理),即∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
又∵点B在⊙O上,
∴BC是⊙O的切线;
(2)如图,连接BE,BF.
∵AB是⊙O的直径(已知),
∴∠AEB=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴∠EBC+∠C=90°(直角三角形的两个锐角互余),
∵∠ABC=90°(由(1)知),
∴∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠C=∠ABE(等量代换);
又∵∠AFE=∠ABE(同弧所对的圆周角相等),
∴∠AFE=∠C(等量代换),
∴sin∠AFE=sin∠ABE=sinC,
∴sin∠AFE=
3
5

∴∠AFB=90°,
在Rt△ABE中,AB=
AE
sin∠ABE
=5
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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