如图,抛物线C1:y2=4x,圆C2:(x-1)2+y2=1,过抛物线焦点的直线l 交C1于A,D两点,交C2于B,C两点. (Ⅰ)若|AB|+|CD|=2|BC|,求直线l的方程; (Ⅱ)求|AB|
题目
如图,抛物线C
1:y
2=4x,圆C
2:(x-1)
2+y
2=1,过抛物线焦点的直线l
交C
1于A,D两点,交C
2于B,C两点.
(Ⅰ)若|AB|+|CD|=2|BC|,求直线l的方程;
(Ⅱ)求|AB|•|CD|的值.
答案
(Ⅰ)抛物线C
1:y
2=4x的焦点为(1,0),圆C
2:(x-1)
2+y
2=1,
圆心为(1,0),半径为1.则圆心C
2(1,0)为抛物线的焦点,
由|AB|+|CD|=2|BC|,得|AD|=3|BC|=6.
由题易得直线l的斜率存在且不为零,
设直线l:y=k(x-1),A(x
1,y
1),D(x
2,y
2),
由
,得k
2x
2-(2k
2+4)x+k
2=0,
则
x1+x2=,
又由抛物线的定义可得,|AD|=x
1+x
2+2=6,
所以x
1+x
2=
=4,解得
k=±,
则有直线l的方程为
y=±(x−1);
(Ⅱ)若l与x轴垂直,则x
1=x
2=1;
若l与x轴不垂直,则由(Ⅰ)知
x1x2==1.
所以由抛物线的定义可得,|AB|•|CD|=(x
1+1-1)(x
2+1-1)=x
1x
2=1.
(Ⅰ)求出抛物线的焦点为(1,0),圆的圆心为(1,0),半径为1.则圆心C2为抛物线的焦点,由|AB|+|CD|=2|BC|,得|AD|=3|BC|=6.设出直线l:y=k(x-1),联立抛物线方程消去y,得到二次方程,由根与系数的关系得到两根之和,又由抛物线的定义可得,|AD|=x1+x2+2,即可得到k,进而得到直线方程;
(Ⅱ)若l与x轴垂直,则x1=x2=1;若l与x轴不垂直,则有根与系数的关系,得到两根之积,再由抛物线的定义,即可得到所求的值.
直线与圆锥曲线的综合问题.
本题考查抛物线的定义、性质和方程的运用,考查直线与圆的位置关系,考查联立直线方程和抛物线方程,消去未知数,运用韦达定理解题,考查运算能力,属于中档题和易错题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 境外汇款,信息如下:bank name/address,account name/number,ABA for wires/ACH,swift,能否汇款
- 需要读轻声的词语
- 请你观察一下身边的花儿,然后仿照花儿的闹市中描写花儿的语句也来写一句.
- 下 22.人物描写一组的课文!
- 新目标英语八年级下unit 4 He said I was hard-working测试题
- 枯萎的树叶是不是生物?
- 将-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这个数分别填入图中的方格,使横,竖,斜对角的3个数相加得0.
- 举一些常用拟声词
- 写描写春夏秋冬的四字词语
- 两箱皮球,甲乙的比是5:3,从甲箱拿出6个给乙箱,甲乙的比是3:1,两箱共多少个?
热门考点