如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：BC2=2AC•CD． （要求用三种方法解题）

题目

如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：BC²=2AC•CD．
（要求用三种方法解题）

答案

证明：如图一：
延长CA到E，CA=AE，连接BE，
则有∵AB=AC，∴AB=

1

2

CE．
∴△CBE是直角三角形．
∴∠CBE是直角，（一边上的中线等于这一边长的一半的三角形是直角三角形）．
∴∠C=∠C，∠BDC=∠EBC=90°，
∴△BCD∽△ECB．
∴BC²=EC•CD=2AC•CD．
如图二：
作AE⊥BC于E，
∴∠C=∠C，∠AEC=∠BDC=90°，
则有△ACE∽△BCD．
得

CE

CD

＝

AC

BC

．
即CE•BC=CD•AC．
从而得：BC²=2AC•CD．
如图三：
在DA上截取DE=DC，连接BE，
则有△BCE∽△ACB．
得

BC

AC

＝

CE

BC

＝

2CD

BC

．
从而BC²=2AC•CD．