已知abc均为正数,且x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根,证a.b,c为三边的三角形是直角三角形

题目

已知abc均为正数,且x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根,证a.b,c为三边的三角形是直角三角形
2是平方

答案

因a、b、c为三角形三条边,所以a、b、c为正数,
解方程X^2＋2ax＋b^2=0,得
x=[-2a+根号(4a*a-4b*b)]/2=-a+根号(a*a-b*b)
x=[-2a-根号(4a*a-4b*b)]/2=-[a+根号(a*a-b*b)]
同理,解方程x^2＋2cx－b^2=0,得
x=[-2c+根号(4c*c+4b*b)]/2=-c+根号(c*c+b*b)
x=[-2c-根号(4c*c+4b*b)]/2=-[c+根号(c*c+b*b)]
因方程X^2＋2ax＋b^2=0与x^2＋2cx－b^2=0有一个相同的根,所以只有
-a+根号(a*a-b*b)=-c+根号(c*c+b*b)
上方程移项得
c-a=根号(c*c+b*b)-根号(a*a-b*b）
两边平方,得
c*c+a*a-2a*c=c*c+b*b+a*a-b*b-2根号[(c*c+b*b)-(a*a-b*b)]
化简得
a*c=根号(c*c+b*b)*(a*a-b*b)
两边再平方并化简,得
a*a=b*b+c*c
根据勾股定理,可知此三角形为直角三角形.
用另一组相等的根列方程,结果与上相同.