已知向量m=(cosθ,-sinθ),n=(√2+sinθ,cosθ),θ∈(π,3π／2),且cos(θ／2+π／8）,求绝对值m+n的值.

题目

已知向量m=(cosθ,-sinθ),n=(√2+sinθ,cosθ),θ∈(π,3π／2),且cos(θ／2+π／8）,求绝对值m+n的值.
且cos(θ／2+π／8)=-4／5,求绝对值m+n的值

答案

mn=cosθ(√2+sinθ)-sinθcosθ
n^2=(√2+sinθ)^2+(cosθ)^2=3+2√2sinθ
|m+n|^2=(m+n)^2=m^2+2mn+n^2
=1+2【cosθ(√2+sinθ)-sinθcosθ】+（3+2√2sinθ）
=4+2√2（cosθ+sinθ）
=4+4sin（θ+π／4）
cos(θ／2+π／8)=-4／5,两边平方,得cos^2 (θ／2+π／8)=16/25
得1/2【cos（θ+π／4）+1】=16/25
得cos（θ+π／4）=7/25
θ∈(π,3π／2),则θ+π／4∈(5π/4,7π／4),
所以sin（θ+π／4）=-24/25
所以|m+n|=2/5