已知两个等差数列{an}:5,8,11,…和{bn}:3,7,11,… 它们都有100项,由两个数列中相同的项组成一个新数列,试问这个新数列共有多少项?新数列各项之和是多少?

题目

已知两个等差数列{an}:5,8,11,…和{bn}:3,7,11,… 它们都有100项,由两个数列中相同的项组成一个新数列,试问这个新数列共有多少项?新数列各项之和是多少?

答案

因为an=5+3(n-1)=3n+2
bn=3+4(n-1)=4n-1
若am=bk
则有3m+2=4k+1
3m+3=4k
m+1=(4/3)k
由于m、k是整数,所以只要设k=3n即可,代入m+1=(4/3)k得m=4n-1
于是数列{an}中的项a(4n-1)与数列{bn}中的项b(3n)相同
所以由两个数列中相同的项组成一个新数列{Cn}的通项是Cn=a(4n-1)=3(4n-1)+2=12n-1
（注意当然也可以由Cn=b(3n)=4(3n)-1=12n-1求得）
又因为a100=3*100+2=303 b100=4*100-1=399
由12n-1