已知角α，β∈（0，π2），且tan（α+β）=-3，sinβ=2sin（2α+β），则α=_．

题目

已知角α，β∈（0，

π

2

答案

∵sinβ=2sin（2α+β），∴sin[（α+β）-α]=2sin[（α+β）+α]，
∴sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=2sin（α+β）cosα+2cos（α+β）sinα，
化简可得 sin（α+β）cosα=-3cos（α+β）sinα，即 tan（α+β）=-3tanα，
即tan（α+β）=-3，化简可得tanα=1．
再由角α，β∈（0，

π

2

），可得α=

π

4

，
故答案为

π

4

．