抛线y=ax*2+bx+c与x轴有两个不同的交点A,B 若A,B到原点的距离都小于1求a+b+c最小值【abc都是整数……】

题目

抛线y=ax*2+bx+c与x轴有两个不同的交点A,B 若A,B到原点的距离都小于1求a+b+c最小值【abc都是整数……】
突然发现一个问题，如果a,c都大于0，那么整个函数图象都在x轴上方……哪来的交点啊，是不是题目错了啊……

答案

如果a,c都大于0,那么函数图象也不一定都在x轴上方,
比如a=6,b=5,c=1时,y=6x^2+5x+1,可解得x1=-1/2,x2=-1/3.
此时抛物线y=ax*2+bx+c与x轴有两个不同的交点A(-1/2,0),B(-1/3,0),符合题意.
所以题目没有错误
【解】
设A,B的坐标为(x1,0),(x2,0),且x1＜x2,则x1,x2是方程ax^2+bx+c=0的两根
根据韦达定理
x1+x2=-b/a0
∵x1,x2到原点的距离都小于1,所以x1的绝对值小于1,x2绝对值小于1
∴c/a=x1x2＜1,即c＜a
当x=0时,y=C>0
当x=-1时,y=a-b+c>0即 a+c>b
∵a、b、c为正整数,又是求最小值
∴ 存在a+c≥b+1
a≥b+(1-c)
因为c≥1
∴a≥b---------(1)
要求a＋b＋c的最小值
所以c=1
∵两个不同交点,Δ=b^2-4ac＞0
b^2>4a>4b
b>4 取b=5为最小值
由（1）取a=5为最小值
则a+b+c的最小值为5+5+1=11