已知扇形OAB的半径为1,圆心角为60度,求一边在半径上的内接矩形面积的最大值

题目

已知扇形OAB的半径为1,圆心角为60度,求一边在半径上的内接矩形面积的最大值

答案

已知扇形OAB的半径为1,圆心角为60度,求一边在半径上的内接矩形面积的最大值
设P点在弧AB上,设角POB=x,那么:
过P做PE垂直OB于E,并且设内接四边形是PEFG,那么:
PE=OP*sinx=Rsinx.
OE=OP*cosx=Rcosx.
而且PG=EF=OE-OF
在直角三角形OFG中,有角FOG=60度,所以:
OF=(根号3/3)GF=(根号3/3)PE.
所以EF=OE-OF=Rcosx-(根号3/3)*(Rsinx).
所以若面积函数为S(x),有:
S(x)=Rsinx*[Rcosx-(根号3/3)*(Rsinx)]
=R*R[sinx*cosx-(根号3/3)sinx*sinx]
=R*R[(1/2)sin2x+(根号3/6)cos2x-(根号3/6)] (引进辅助角,Pi是圆周率)
=R*R[(根号3/3)*sin(2x+Pi/6)-(根号3/6)]
所以最大值就是x=Pi/6的时候取到,又R=1
所以最大值S(x)=(根号3/6)*R*R=根号3/6