设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy.
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设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy.
题目
设x≥1,y≥1,证明:
x+y+
1
xy
≤
1
x
+
1
y
+xy
答案
证明:要证
x+y+
1
xy
≤
1
x
+
1
y
+xy
,
只需证明
1
xy
−
1
x
−
1
y
≤xy−x−y
,
只需证明
(1−
1
x
)(1−
1
y
)≤(1−x)(1−y)
=(x-1)(y-1),
只需证明1-
1
x
≤x-1;1-
1
y
≤y-1,
即证x+
1
x
≥2,y+
1
y
≥2,(x≥1,y≥1)这是均值不等式,
所以x≥1,y≥1,
x+y+
1
xy
≤
1
x
+
1
y
+xy
得证.
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