抛物线y=x^2-2bx-2何时与轴有有两个交点?一个交点?无交点?

题目

抛物线y=x^2-2bx-2何时与轴有有两个交点?一个交点?无交点?

答案

由给定的抛物线方程y^2＝x,可知：抛物线焦点F的坐标为（1/4,0）.
∵要求的圆过抛物线的焦点,又与抛物线的准线相切,
∴要求的圆的圆心到抛物线焦点与到抛物线的准线距离相等,∴要求的圆的圆心在抛物线上.
∵要求的圆过点F（1/4,0）、M（1,1）,∴要求的圆的圆心G在FM的中垂线上.
由中点坐标公式,容易求出FM的中点坐标为（5/8,1/2）.
FM的斜率＝（1－0）/（1－1/4）＝4/3,∴FM的中垂线的斜率＝－3/4.
∴FM的中垂线方程为：y－1/2＝－（3/4）（x－5/8）,即：y＝－（3/4）x＋31/32.
显然,方程组y^2＝x、y＝－（3/4）x＋31/32的根就是点G的坐标.
联立：y^2＝x、y＝－（3/4）x＋31/32,消去y,得：［－（3/4）x＋31/32］^2＝x,
∴（3/4）^2·x^2－2×（3/4）×（31/32）x＋（31/32）^2＝x,
∴（3/4）^2·x^2－［2×（3/4）×（31/32）＋1］x＋（31/32）^2＝0.
∴方程的判别式
＝［2×（3/4）×（31/32）＋1］^2－4×（3/4）^2×（31/32）^2
＞［2×（3/4）×（31/32）］^2－4×（3/4）^2×（31/32）^2
＝0.
∴方程（3/4）^2·x^2－［2×（3/4）×（31/32）＋1］x＋（31/32）^2＝0有两个实数根,
∴点G有两个,∴⊙G有两个.
希望对你能有所帮助.