是否存在实数a,使得函数f(x)=sin^2x+acosx+5/8a在区间[0,π/2]上的最大值是5/2?若存在,求出a值

题目

是否存在实数a,使得函数f(x)=sin^2x+acosx+5/8a在区间[0,π/2]上的最大值是5/2?若存在,求出a值

答案

1.5
f（x）=-（cosx-（a/2））的平方+a方/4+5a/8+1
（1）a/2小于0时,f（x）最大值=f(x=π/2)=5a/8+1=5/2,得a=12/5,与a/2小于0 矛盾,舍去
（2）a/2大于1时,f(x)最大值=f（x=0）=13a/8=5/2,得a=20/13与a大于2矛盾,舍去
（3）0《a/2《1时,f(x)最大值=f（cosx=a/2）=【2*（a方）+5a+8】/8=5/2,得a=1.5或者-4（与0《a《2矛盾,舍去）,a=1.5符合题意
综上,a=1.5
说明：（1）,cosx在一象限递减函数,二次函数开口向下并且当变量t（将cosx看成整体t）在对称轴右侧时,为递减函数,综合起来复合函数f（x）就是增函数,x最大,f（x）最大；同理推测（2）（3）条件.