设m为有理数,是否存在实数k,使方程X^2-4mX+4X+3m^2-2m+4k=0根是有理数

题目

设m为有理数,是否存在实数k,使方程X^2-4mX+4X+3m^2-2m+4k=0根是有理数
每一步为什么这么做,都要写清楚,比如为什么要凑成平方数?

答案

x^2-4mx+4x+3m^2-2m+4k=0
x^2+(4-4m)x+(3m^2-2m+4k)=0
方程要有根,则
Δ=（4-4m)^2-4(3m^2-2m+4k)≥0
4m^2-24m+(16-16k)≥0
m^2-6m+4(1-k)≥0
∵一元二次方程ax^2+bx+c=0的根为x=(-b±√Δ)/2a
∴若方程x^2-4mx+4x+3m^2-2m+4k=0根是有理数,则Δ必须是完全平方数
而 Δ=m^2-6m+4(1-k）=m^2-6m+9-9+4(1-k)
=(m-3)^2 -5-4k
∴只有当-5-4k=0,即k= -5/4时,Δ才是完全平方数
∴k= -5/4时,方程X^2-4mX+4X+3m^2-2m+4k=0根是有理数