若:A为实对称矩阵 证明:A的秩等于A平方的秩

题目

若:A为实对称矩阵 证明:A的秩等于A平方的秩

答案

设Ax=0
左乘A^T （就是A的转置） 得到 (A^T) A x=0
就是说 Ax=0 的解 一定是 (A^T) A x=0 的解
同理 对方程 (A^T) A x=0
左乘 x^T 得到 (Ax)^T （Ax）=0
因为Ax 是个列向量, (Ax)^T（ Ax）是一个数 就是它的内积,等于零
则有Ax=0, 说明(A^T) A x=0 的解 也一定是 Ax=0 的解
综上,Ax=0 和 (A^T) A x=0 同解
于是他们秩相等. 又因为 A=A^T
所以A的秩等于 A平方的秩