1.已知定点A（4,0）和曲线x^2+y^2=4上的动点B,点P在线段AB上且AP:PB=2:1,求点P的轨迹方程

题目

1.已知定点A（4,0）和曲线x^2+y^2=4上的动点B,点P在线段AB上且AP:PB=2:1,求点P的轨迹方程
2.在三角形ABC中,AB边的长为2a,若BC边上的中线AD的长为m,试求顶点C的轨迹方程

答案

1、设 P（x,y）,B（x1,y1）,
由 AP：PB=2：1 得 AP=2PB ,
所以 OP-OA=2(OB-OP) ,
解得 OB=3/2*OP-1/2*OA ,
即 （x1,y1）=（3/2*x-2 ,3/2*y）,
所以 x1=3/2*x-2 ,y1=3/2*y ,
由于 B 在曲线 x^2+y^2=4 上,所以 B 的坐标满足方程,代入可得 (3/2*x-2)^2+(3/2*y)^2=4 ,
化简得 (x-4/3)^2+y^2=16/9 .这就是 P 的轨迹方程.
2、取 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系,
设A（-a,0）,B（a,0）,并设 D（x1,y1）,C（x,y）,
则 x1^2+y1^2=m^2 ,（1）
由于 D 是 BC 中点,所以 x+a=2x1 ,y+0=2y1 ,
解得 x1=(x+a)/2 ,y1=y/2 ,
代入（1）式并化简得 (x+a)^2+y^2=4m^2 ,
由于 A、B、C、D不共线,所以 y≠0 ,
因此 C 的轨迹方程是 (x+a)^2+y^2=4m^2 (y≠0) .