求不定积分 dx/(x(1+x^2)^1/2)

题目

求不定积分 dx/(x(1+x^2)^1/2)
补充一下哈，答案是-1/2lnl(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l+c，求过程~！

答案

令x=tant,则dx=sec²tdt
∫dx/[x√(1+x²)]
=∫sec²t/(tantsect) dt
=∫sect/tant dt
=∫1/sint dt
=∫csct dx
=∫csct(csct-cott)/(csct-cott)dt
=∫(csc²t-csctcott)/(csct-cott)dx
=∫d(csct-cott)/(csct-cott)
=ln|csct-cott|+C
=ln|[√(1+x²)-1]/x|+C
=ln[√(1+x²)-1]-ln|x|+C
C为任意常数
你的答案和我的答案其实是一样的
-1/2lnl(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l+C
=(1/2) ln[l(1+(1+x^2)^1/2)/(1-(1+x^2)^1/2)l^(-1)]+C.利用对数性质,把负号消掉
=(1/2)lnl(1-(1+x^2)^1/2)/(1+(1+x^2)^1/2)l+C
=(1/2)ln|(1-(1+x^2)^1/2)²/x²|+C.对数真数分母有理化,分子分母同时乘以1-(1+x^2)^1/2
=ln|((1+x^2)^1/2-1)/x|+C.利用对数性质,把1/2化进真数
=ln[√(1+x²)-1]-ln|x| +C .对数运算性质