数列综合题一

题目

数列综合题一
已知数列{an}满足a1=a,a(n+1)=1+1/an,我们知道当a取不同的值时,得到不同数列,如当a=1时,得到无穷数列：1,2,3/2,5/3,...当a=2时,得到有穷数列：-0.5,-1,0
设数列{bn}满足b1=-1,b(n+1)=1/(bn-1),求证a取数列{bn}中任一个数,都可得到有穷数列{an}.

答案

证明：首先有b(n+1)=1/(bn-1)
所以1/b(n+1)=bn-1
数学归纳法：
(1)当a=b1时,有
a2=1+1/a1=1+1/(-1)=0
是有穷数列
(2)设当a=bk时,an是有穷数列
则当a=b(k+1)时,
a2=1+1/a1
=1+1/b(k+1)
=1+bk-1
=bk
由于a=bk是又穷数列,所以a2=bk也是有穷数列
所以a=b(k+1)也是有穷数列
综上所述a取数列{bn}中任一个数,都可得到有穷数列{an}.