设abc是△ABC的三边,S是三角形的面积,求证c∧2-a∧2-b∧2+4ab≥(4√3)S

题目

设abc是△ABC的三边,S是三角形的面积,求证c∧2-a∧2-b∧2+4ab≥(4√3)S

答案

余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosc,变形得c^2-a^2-b^2+4ab=4ab-2abcosc 三角形面积S=1/2absinc 代入不等式得4ab-2abcosc≥4√3×1/2absinc 等价于2-cosc≥√3sinc 即1≥√3/2sinc+1/2cosc 即1≥sin(c+30)...