关于蚂蚁与橡皮绳悖论
题目
关于蚂蚁与橡皮绳悖论
一只蚂蚁沿着一条长100米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行.每过1秒钟,橡皮绳就拉长 100米,比如 10秒后,橡皮绳就伸长为1000米了.当然,这个问题是纯数学化的,既假定橡皮绳可任意拉长,并且拉伸是均匀的.蚂蚁也会不知疲倦地一直往前爬,在绳子均匀拉长时,蚂蚁的位置理所当然地相应均匀向前挪动.现在要问,如此下去,蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端?为什么?
答案
1、如果把橡皮筋然全长定为1,那么不管橡皮筋拉多长,都是1,拉长的结果是让蚂蚁的速度下降为原来的100/(100+100t)=1/(1+t)
2、蚂蚁的初速度是全长的0.01/(100)=1/10000-=0.0001,(按全长为1来定即走过全长的万分之一)
3蚂蚁在t时刻的速度是0.0001*(1/(1+t))=0.0001/(1+t)
4、则蚂蚁在微小的时间段dt内走过的路是 (0.0001/(1+t))dt
5、则蚂蚁从0时刻走到t时刻的路程为∫(0.0001/(1+t))dt
从0到t积分因为∫(0.0001/(1+t))dt=0.0001*ln(1+t)
所以蚂蚁走过的路程为 0.0001ln(1+t)-0.0001ln(1+0)=0.0001ln(1+t)
因为全长定为1,令上式=1 0.0001ln(1+t)=1
解这个方程 1+t=e^10000
t=(e^10000)-1=3.122*10^4343秒=1.0*10^4335年
此问题相当于调和级数求和.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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