已知点p在三角形ABC所在平面内,向量PA*PB=PB*PC=PC*PA,如何证明p是三角形的垂心?

题目

已知点p在三角形ABC所在平面内,向量PA*PB=PB*PC=PC*PA,如何证明p是三角形的垂心?

答案

∵向量PA·向量PB＝向量PC·向量PA,　∴向量PA·向量PB－向量PA·向量PC＝0,
∴向量PA·（向量PB－向量PC）＝0,　∴向量PA·向量CB＝0,　∴向量PA⊥向量CB,
∴PA⊥CB.
同理,由向量PA·向量PB＝向量PB·向量PC,可得：PB⊥CA.
由PA⊥CB、PB⊥CA,得：点P是△ABC中CB、CA边上高的交点,　∴点P是△ABC的垂心.