求曲面x^2 y^2 z^2=x的切平面,使其垂直于平面x-y-0.5z=2和平面x-y-z=2的交线

题目

求曲面x^2 y^2 z^2=x的切平面,使其垂直于平面x-y-0.5z=2和平面x-y-z=2的交线

答案

题目抄写不完整,从键盘打字情况看,曲面似应为 x²+y²+z²=x,以下就以此给出求法；
空间曲面的切平面可通过对曲面方程 F(x)=0 直接求导得到法向量{∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z}；
本题 F=x²+y²+z²-x=0,则 ∂F/∂x=2x-1,∂F/∂y=2y,∂F/∂z=2z；
于是切平面法向量为 {2x-1,2y,2z}；根据题意该向量须与两已知平面的交线平行；
两平面交线方程为：x/k=y/k=z/0；只需令 2z=0,2x-1=2y=k；将此关系式代入曲面方程：
x²+(x -1/2)²=x,解得 x=(2±√2)/4；y=±√2/4；
切平面（切点）有两个：[x-(2±√2)/4]+[y-(±√2/4)]+0*z=0,即 x+y=(1±√2)/2；