已知函数f(x)=(2x-a)/(x2+2) ,设方程f(x)=1/x的两根分别为x1,x2,是否存在m∈R,使m2+tm+1≥x1-x2的绝对值对一切a,t属于【-1,1】恒成立?若存在,求m的范围

题目

已知函数f(x)=(2x-a)/(x2+2) ,设方程f(x)=1/x的两根分别为x1,x2,是否存在m∈R,使m2+tm+1≥x1-x2的绝对值对一切a,t属于【-1,1】恒成立?若存在,求m的范围,否则说明理由

答案

f(x)=)=(2x-a)/(x2+2)=1/x,
整理得,x^2 -ax-2=0
|x1-x2|^2 =(x1+x2) -4x1x2=a^2 +8
|x1-x2|=√(a^2+8)
于是,m2+tm+1≥√(a^2+8),对一切a,t属于【-1,1】恒成立
这句话意思是,左边的最小值大于等于右边的最大值,
记g（t）=mt+m^2+1,将其看作【-1,1】上的一次函数,
1,当m大于0,左边最小值为-m+m^2+1≥3
解之得,m≥2
2,当m小于0,左边最小值为m+m^2+1≥3
解之得,m∈[-2,0）
3,当m=0,不合题意舍去
所以m∈[-2,0）或m≥2