已知数列{an}的通项公式an=logn+1（n+2）（n∈N+），记Jn=a1•a2•a3•…•an为数列{an}的前n项积.定义能使Jn为整数的正整数n为劣数，则在区间（1，2014）内所有的劣数

题目

已知数列{a_n}的通项公式a_n=log_n+1（n+2）（n∈N₊），记J_n=a₁•a₂•a₃•…•a_n为数列{a_n}的前n项积.定义能使J_n为整数的正整数n为劣数，则在区间（1，2014）内所有的劣数和为（　　）
A. 2026
B. 2046
C. 1024
D. 1022

答案

∵a_n=log_n+1（n+2），（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•…•

lg(k+2)

lgk+1

=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数，
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2；
又k∈[1，2014]，∴1≤2ⁿ-2≤2014，∴取2≤n≤10；
∴在区间（1，2014）内所有的劣数和：
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

22−211

1−2

-2×9=2026．
故选：A．